高等数学笔记-苏德矿
第九章-重积分(Ⅰ)-二重积分
第一节 二重积分的概念和性质
一、二重积分的典例
01 平面薄板的质量
平面薄片一点的面密度的定义：
设有一个平面薄片位于 x O y xOy xOy 平面上的有界闭区域 σ x y \sigma xy σxy，设 P 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ σ x y P_0(x_0,y_0)\in\sigma xy P0(x0,y0)∈σxy，
P 0 ∈ Δ σ ∈ σ x y P_0\in \Delta\sigma\in\sigma xy P0∈Δσ∈σxy， Δ σ \Delta\sigma Δσ 的面积仍用 Δ σ \Delta\sigma Δσ 表示，称 Δ M Δ σ \frac{\Delta M}{\Delta \sigma} ΔσΔM 为 Δ σ \Delta\sigma Δσ 的平均面密度。
(资料图片仅供参考)
若 lim Δ σ → P 0 Δ M Δ σ \lim \limits_{\Delta\sigma \rightarrow P_0} \frac{\Delta M}{\Delta \sigma} Δσ→P0limΔσΔM 极限存在，该极限称为在 P 0 P_0 P0 点的面密度。
如果 σ x y \sigma xy σxy 面密度处处相等，称该薄片是密度均质的薄片；否则称薄片密度为非均质的。
设一个平面薄板位于 x O y xOy xOy 平面区域的有界闭区域 D D D，其面密度为 μ = μ ( x , y ) μ=μ(x,y) μ=μ(x,y) 如何求薄片的质量？
类似一元的处理方法，采用：
(1) 分割
用若干条曲线将 D D D 任意划分成 n n n 个小区域 Δ D 1 , Δ D 2 , ⋯ , Δ D n , Δ D i \Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n}, \Delta D_{i} ΔD1,ΔD2,⋯,ΔDn,ΔDi 的面积记为 Δ σ i , ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) \Delta \sigma_{i},(i=1,2, \cdots, n) Δσi,(i=1,2,⋯,n)
(2) 作和
在小区域分得很小时，近似认为质量均匀，任取 ( ξ i , η i ) ∈ Δ D i \left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i} (ξi,ηi)∈ΔDi，薄板的质量近似地表达为 m = ∑ i = 1 n Δ m i ≈ ∑ i = 1 n μ ( ξ i , η i ) Δ σ i m=\sum_{i=1}^{n} \Delta m_{i} \approx \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} m=i=1∑nΔmi≈i=1∑nμ(ξi,ηi)Δσi (3) 取极限
记 λ = max 1 ≤ 1 ≤ n { d i } \lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\} λ=1≤1≤nmax{di}，( d i d_{i} di 是小区域 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi 的直径 ) 那么若下列极限存在，就给出了薄板的质量。 m = lim λ → 0 ∑ i = 1 n μ ( ξ i , η i ) Δ σ i m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} m=λ→0limi=1∑nμ(ξi,ηi)Δσi
02 曲顶柱体的体积
柱体的侧面是母线垂直 x y x y xy 平面的柱面，顶面为曲面 S : z = f ( x , y ) S: z=f(x, y) S:z=f(x,y)，
底面是 x y x y xy 平面上区域 D D D，如何求此曲顶柱体的体积？
(1) 分割
用若干条曲线将区域 D D D 分成小区域 Δ D 1 , Δ D 2 , ⋯ , Δ D n \Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n} ΔD1,ΔD2,⋯,ΔDn，而 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi 的面积记为 Δ σ i \Delta \sigma_{i} Δσi，
相应地把柱体分成 n n n 个小的曲顶柱体 Δ V 1 , Δ V 2 , ⋯ , Δ V n \Delta V_{1}, \Delta V_{2}, \cdots, \Delta V_{n} ΔV1,ΔV2,⋯,ΔVn，而 Δ V i \Delta V_{i} ΔVi 的体积仍记为 Δ V i \Delta V_{i} ΔVi .
(2) 求和
区域分得很小时，用柱体来近似小曲顶柱体的体积，任取 ( ξ i , η i ) ∈ Δ D i \left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i} (ξi,ηi)∈ΔDi，则总体积近似为： ∑ i = 1 n Δ V i = ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \Delta V_i =\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} }% i=1∑nΔVi=i=1∑nf(ξi,ηi)Δσi
(3) 取极限
记 λ = max 1 ≤ 1 ≤ n { d i } \lambda=\max \limits_{1 \leq 1 \leq n}\left\{d_{i}\right\} λ=1≤1≤nmax{di}，( d i d_{i} di 是小区域 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi 的直径 ) ，则体积 V V V 由如下极限给出： V = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \displaystyle{ V=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} }% V=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi
从以上例子抽象出来就得到二重积分的概念，这类问题要计算在一个平面区域上分布率不均匀的量的总量。
积分四部曲：分匀和精（分割、看作均匀、求近似值、极限取到精确）。
二、二重积分的概念
01 定义
设 D D D 是 x O y xOy xOy 平面的有界闭区域，函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y) 在 D D D 定义， I I I 为实数，
若用若干条曲线将 D D D 任意划分成个小区域 Δ D 1 , Δ D 2 , ⋯ , Δ D n \Delta D_{1}, \Delta D_{2}, \cdots, \Delta D_{n} ΔD1,ΔD2,⋯,ΔDn，
任取 ( ξ i , η i ) ∈ Δ D i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) \left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \in \Delta D_{i}\ (i=1,2, \cdots, n) (ξi,ηi)∈ΔDi (i=1,2,⋯,n)， Δ σ i \Delta \sigma_{i} Δσi 表示 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi 的面积，
f ( ξ i , η i ) Δ σ i f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} f(ξi,ηi)Δσi 称为积分元，对积分元作和得到如下积分和式： ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i \displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} }% i=1∑nf(ξi,ηi)Δσi
记 λ = max 1 ≤ i ≤ n { d i } \lambda=\max \limits_{1 \leq i \leq n}\left\{d_{i}\right\} λ=1≤i≤nmax{di}， d i d_{i} di 是小区域 Δ D i \Delta D_{i} ΔDi 的直径，若总有： lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i = I \displaystyle{ \lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}=I }% λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi=I
则称函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y) 在有界闭区域 D D D 上可积， I I I 称为 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y) 在 D D D 的二重积分，记为 ∬ D f ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma D∬f(x,y)dσ .
其中， ∬ − \iint- ∬− 二重积分号， D − D- D− 积分区域， f ( x , y ) − f(x, y)- f(x,y)−被积函数，
x , y − x \ , \ y- x , y−积分变量， f ( x , y ) d σ − f(x, y) d \sigma- f(x,y)dσ−被积表达式， d σ − d \sigma- dσ−面积元素 (面积微元) 。
若函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 上可积，则 ∬ D f ( x , y ) d σ = lim λ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ σ i = I \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum \limits_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}=I D∬f(x,y)dσ=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi)Δσi=I。
关于定义中“总有”的含义：
对于所有小区域所取点的函数值，作和取极限都得到唯一存在且确定的数 I I I，
且极限 I I I 的取值与区域分割方法和区域内点 ( ξ i , η i ) \left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) (ξi,ηi) 的取法均无关。
02 几何意义
若 ∬ D f ( x ) d σ \iint\limits_Df(x)d\sigma D∬f(x)dσ 存在且 f ( x , y ) ⩾ 0 f(x,y)\geqslant0 f(x,y)⩾0，则以区域 D D D 为底，以曲面 S : z = f ( x , y ) S: z=f(x, y) S:z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。
03 物理意义
若 ∬ D f ( x ) d σ \iint\limits_Df(x)d\sigma D∬f(x)dσ 存在且 f ( x , y ) ⩾ 0 f(x,y)\geqslant0 f(x,y)⩾0，则二重积分表示面密度为 μ = μ ( x , y ) μ=μ(x,y) μ=μ(x,y) 的平面薄片的质量
04 可积的充分条件
若函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在区域 D D D 上连续有界，则 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 可积。
若函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在区域 D D D 上有界，只在有限条曲线上不连续，则 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 可积。
若函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在有界区域 D D D 上分片连续有界，则 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 D D D 可积。
分片连续有界：分片借鉴一元函数分段的概念，在每个区域内均连续有界。三、二重积分的性质
设以下性质中出现的积分均存在
性质1 (线性运算法则) ：若 α , β \alpha, \beta α,β 是常数， ∬ D ( α f ( x , y ) + β g ( x , y ) ) d σ = α ∬ D f ( x , y ) d σ + β ∬ D g ( x , y ) d σ \iint \limits_{D}(\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)) d \sigma=\alpha \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma+\beta \iint \limits_{D} g(x, y) d \sigma D∬(αf(x,y)+βg(x,y))dσ=αD∬f(x,y)dσ+βD∬g(x,y)dσ
性质2 (区域的可加性) ：若积分区域 D D D 分成 D 1 , D 2 D_{1}, D_{2} D1,D2 两个子区域（ D 1 , D 2 D_{1}, D_{2} D1,D2 不可以有公共区域）， ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D 1 f ( x , y ) d σ + ∬ D 2 f ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=\iint \limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma+\iint \limits_{D_{2}} f(x, y) d \sigma D∬f(x,y)dσ=D1∬f(x,y)dσ+D2∬f(x,y)dσ
性质3（求平面区域的面积）： ∬ D 1 d σ = A D ( D 的 面 积 ) \iint \limits_{D} 1 d \sigma=A_{D} \quad(D\ 的面积) D∬1dσ=AD(D 的面积)
性质4 (单调性/保序性) ：若 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ) f(x, y) \leq g(x, y) f(x,y)≤g(x,y)，则 ∬ D f ( x , y ) d σ ⩽ ∬ D g ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma \leqslant \iint \limits_{D} g(x, y) d \sigma D∬f(x,y)dσ⩽D∬g(x,y)dσ 性质4的推论： ( 1 ) 若 f ( x , y ) ⩾ 0 , 且 f ( x , y ) ≢ 0 , 则 ∬ D f ( x , y ) d σ > 0 ( 2 ) ∣ ∬ D f ( x , y ) d σ ∣ ≤ ∬ D ∣ f ( x , y ) ∣ d σ ( 三 角 不 等 式 的 推 广 ) ( 3 ) 若 m ⩽ f ( x , y ) ⩽ M , 则 m A D ⩽ ∬ D f ( x , y ) d σ ⩽ M A D ( 估 值 定 理 ) \begin{aligned} & (1)\ \ 若 f(x, y) \geqslant 0\ ,\ 且\ f(x, y)\not\equiv0 \ ,\ 则 \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma > 0\\ & (2)\ \ \left|\iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma\right| \leq \iint \limits_{D}|f(x, y)| d \sigma \ \ \ (三角不等式的推广) \\ & (3)\ \ 若 m \leqslant f(x, y) \leqslant M\ ,\ 则\ m A_{D} \leqslant \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma \leqslant M A_{D} \ \ \ (估值定理) \end{aligned} (1) 若f(x,y)⩾0 , 且 f(x,y)≡0 , 则D∬f(x,y)dσ>0(2) ∣∣∣∣∣∣D∬f(x,y)dσ∣∣∣∣∣∣≤D∬∣f(x,y)∣dσ (三角不等式的推广)(3) 若m⩽f(x,y)⩽M , 则 mAD⩽D∬f(x,y)dσ⩽MAD (估值定理)
性质5 (二重积分中值定理) ：若 D D D 是有界闭区域， f ( x , y ) ∈ C ( D ) f(x, y) \in C(D) f(x,y)∈C(D)，则存在 ( ξ , η ) ∈ D (\xi, \eta) \in D (ξ,η)∈D， ∬ D f ( x , y ) d σ = f ( ξ , η ) A D \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=f(\xi, \eta) A_{D} D∬f(x,y)dσ=f(ξ,η)AD 对应一元函数定积分中的平均值定理（积分第一中值定理）
第二节 二重积分的计算
一、直角坐标系下的计算
01 直角坐标下积分区域的划分
(1) x x x 型正则区域
① 什么是 x x x 型区域
设 D D D 为有界闭区域，若对垂直于 x x x 轴的任何一条直线 ( x = 常 数 x=常数 x=常数 )，与 D D D 的边界有无穷个交点（此时 D D D 的边界垂直于 x x x 轴）
或者至多有两个交点，那么称 D D D 为 x x x 型正则区域。
② x x x 型区域示意图
③ x x x 型区域下的积分转化
设区域 D = { ( x , y ) ∣ φ 1 ( x ) ⩽ y ⩽ φ 2 ( x ) , a ⩽ x ⩽ b } D=\left\{(x, y) \mid \varphi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \varphi_{2}(x)\ \ ,\ a \leqslant x \leqslant b \right\} D={(x,y)∣φ1(x)⩽y⩽φ2(x) , a⩽x⩽b}， f ( x , y ) ⩾ 0 , ( x , y ) ∈ D f(x,y)\geqslant 0 \ , \ (x,y)\in D f(x,y)⩾0 , (x,y)∈D，则 ∬ D f ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d\sigma D∬f(x,y)dσ 表示底面在 x O y xOy xOy 平面的区域 D D D，底部曲面方程 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)，侧面是以 D D D 的边界为准线，曲线平行于 z z z 轴的柱面围成的立体的体积 V V V。
( 二重积分 ∬ D f ( x , y ) d x d y \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y D∬f(x,y)dxdy ( d σ = d x d y ) (d \sigma=d x d y) (dσ=dxdy)的值等于以 D D D 为底，以曲面 S S S : z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。) 利 用 定 积 分 来 求 体 积 考 虑 垂 直 x 轴 过 x 处 的 平 面 截 曲 顶 柱 体 所 得 截 面 积 A ( x ) 截 面 曲 边 梯 形 的 面 积 A ( x ) : A ( x ) = ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y 可 得 曲 顶 柱 体 的 体 积 : V = ∫ a b A ( x ) d x = ∫ a b ( ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y ) d x 导 出 : ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b ( ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y ) d x 写 成 ( 称 为 二 次 积 分 或 累 次 积 分 ) : ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \begin{aligned} & 利用定积分来求体积考虑垂直 x 轴过 x 处的平面截曲顶柱体所得截面积 A(x) \\ & 截面曲边梯形的面积 A(x) \ : \ A(x)=\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y\\ & 可得曲顶柱体的体积 \ : \ V=\int_{a}^{b} A(x) d x=\int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y\right) d x\\ & 导出 \ : \ \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{a}^{b}\left(\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y\right) d x\\ & 写成(称为二次积分或累次积分) \ : \ \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{a}^{b} d x \int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) d y \end{aligned} 利用定积分来求体积考虑垂直x轴过x处的平面截曲顶柱体所得截面积A(x)截面曲边梯形的面积A(x) : A(x)=∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy可得曲顶柱体的体积 : V=∫abA(x)dx=∫ab(∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy)dx导出 : D∬f(x,y)dxdy=∫ab(∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy)dx写成(称为二次积分或累次积分) : D∬f(x,y)dxdy=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy
(2) y y y 型正则区域
① 什么是 y y y 型区域
设 D D D 为有界闭区域，若对垂直于 y y y 轴的任何一条直线 ( y = 常 数 y=常数 y=常数 )，与 D D D 的边界有无穷个交点（此时 D D D 的边界垂直于 y y y 轴）
或者至多有两个交点，那么称 D D D 为 y y y 型正则区域。
② y y y 型区域示意图
③ y y y 型区域下的积分转化若 积 分 区 域 D = { ( x , y ) ∣ ψ 1 ( x ) ⩽ y ⩽ ψ 2 ( x ) , c ⩽ y ⩽ d } 则 有 ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ c d d y ∫ ψ 1 ( y ) ψ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \begin{aligned} & 若积分区域\ D=\left\{(x, y) \mid \psi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \psi_{2}(x)\ \ ,\ c \leqslant y \leqslant d \right\}\\ & 则有\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\int_{c}^{d} d y \int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) d x \end{aligned} 若积分区域 D={(x,y)∣ψ1(x)⩽y⩽ψ2(x) , c⩽y⩽d}则有D∬f(x,y)dxdy=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx
02 二重积分计算的步骤
画出积分区域 D D D 如果 D D D 的边界为两条曲线，先求出交点，画经过交点的边界曲线如果 D D D 的边界超过两条曲线，在画边界曲线的过程中，求出交点，画出积分区域 D D D 若 D D D 为 x x x 型正则区域，则二重积分化为先积 y y y，后积 x x x若 D D D 为 y y y 型正则区域，则二重积分化为先积 x x x，后积 y y y若 D D D 不是 x x x 或 y y y 型正则区域，则分割处理区域后二重积分化为上述两种累次积分二、二重积分的变量代换
设变换 { x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) \left\{\begin{array}{l}x=x(u, v) \\ y=y(u, v)\end{array}\right. {x=x(u,v)y=y(u,v) 有连续偏导数，且满足 J = ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) = ∣ x u y u x v y v ∣ ≠ 0 ( 二 阶 雅 可 比 行 列 式 ) J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll} x_{u} & y_{u} \\ x_{v} & y_{v} \end{array}\right| \neq 0\ \ (二阶雅可比行列式) J=∂(u,v)∂(x,y)=∣∣∣∣xuxvyuyv∣∣∣∣=0 (二阶雅可比行列式) 而 f ( x , y ) ∈ C ( D ) f(x, y) \in C(D) f(x,y)∈C(D)，那么 ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D ′ f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) ∣ J ∣ d u d v \iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\iint \limits_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))|J| d u d v D∬f(x,y)dxdy=D′∬f(x(u,v),y(u,v))∣J∣dudv u v u v uv 平面小矩形 A ′ B ′ C ′ D ′ ⟶ x y A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} \longrightarrow x y A′B′C′D′⟶xy 平面曲边四边形 A B C D A B C D ABCD A ′ ( u , v ) ⟶ A ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) B ′ ( u + Δ u , v ) ⟶ B ( x ( u + Δ u , v ) , y ( u + Δ u , v ) ) C ′ ( u + Δ u , v + Δ v ) ⟶ C ( x ( u + Δ u , v + Δ v ) , y ( u + Δ u , v + Δ v ) ) D ′ ( u , v + Δ v ) ⟶ D ( x ( u , v + Δ v ) , y ( u , v + Δ v ) ) \begin{aligned} &A^{\prime}(u, v) \longrightarrow A(x(u, v), y(u, v)) \\ &B^{\prime}(u+\Delta u, v) \longrightarrow B(x(u+\Delta u, v), y(u+\Delta u, v)) \\ &C^{\prime}(u+\Delta u, v+\Delta v) \longrightarrow C(x(u+\Delta u, v+\Delta v), y(u+\Delta u, v+\Delta v)) \\ &D^{\prime}(u, v+\Delta v) \longrightarrow D(x(u, v+\Delta v), y(u, v+\Delta v)) \end{aligned} A′(u,v)⟶A(x(u,v),y(u,v))B′(u+Δu,v)⟶B(x(u+Δu,v),y(u+Δu,v))C′(u+Δu,v+Δv)⟶C(x(u+Δu,v+Δv),y(u+Δu,v+Δv))D′(u,v+Δv)⟶D(x(u,v+Δv),y(u,v+Δv))
A B C D ABCD ABCD 近似平行四边形，只需求出一组邻边的向量表示：
三、极坐标系下的计算公式
01 极坐标系下的二重积分
若 ∬ D f ( x , y ) d σ \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma D∬f(x,y)dσ 存在，当 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 中含有 x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2 或积分区域 D D D 是圆域或圆周与直线围成的区域，
令 x = r cos θ , y = r sin θ x=r\cos\theta\ , \ y=r\sin\theta x=rcosθ , y=rsinθ，则 ∬ D f ( x , y ) d σ = ∬ D r θ f ( r cos θ , r sin θ ) r d θ d r \iint \limits_{D} f(x, y) d \sigma=\iint \limits_{D_{r\theta}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\ r \ d\theta dr D∬f(x,y)dσ=Drθ∬f(rcosθ,rsinθ) r dθdr .
02 极坐标下积分区域的划分
极坐标下的 θ \theta θ 型区域
设 D D D 为有界闭区域，从极点 O O O 出发的任何一条射线与 D D D 的边界有无穷个交点（此时 D D D 的边界是射线的一段）
或者至多有两个交点，那么称 D D D 为 θ − \theta- θ− 型区域，且设区域 D = { ( r , θ ) ∣ r 1 ( θ ) ⩽ r ⩽ r 2 ( θ ) , α ⩽ θ ⩽ β } D=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\} D={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ) , α⩽θ⩽β}
接下来对于不同类型的 θ − \theta- θ− 型区域进行讨论，设有界闭区域 D D D 为 θ \theta θ 型区域，
极点 O O O 在 D D D 的外部 作射线从 x x x 轴开始旋转，确定 θ \theta θ 的范围 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β] . D = { ( r , θ ) ∣ r 1 ( θ ) ⩽ r ⩽ r 2 ( θ ) , α ⩽ θ ⩽ β } D=\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leqslant r \leqslant r_{2}(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\} D={(r,θ)∣r1(θ)⩽r⩽r2(θ) , α⩽θ⩽β} . 极点 O O O 在 D D D 的边界 求出边界曲线 r = r ( θ ) r=r(\theta) r=r(θ) 的定义域不仅使 r ( θ ) r(\theta) r(θ) 有意义，且 r ( θ ) ⩾ 0 r(\theta)\geqslant0 r(θ)⩾0 的 θ \theta θ 范围 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β] . D = { ( r , θ ) ∣ 0 ⩽ r ⩽ r ( θ ) , α ⩽ θ ⩽ β } D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant r(\theta)\ \ ,\ \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta \right\} D={(r,θ)∣0⩽r⩽r(θ) , α⩽θ⩽β} . 极点 O O O 在 D D D 的内部 D = { ( r , θ ) ∣ 0 ⩽ r ⩽ r ( θ ) , 0 ⩽ θ ⩽ 2 π } D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant r \leqslant r(\theta)\ \ ,\ 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi \right\} D={(r,θ)∣0⩽r⩽r(θ) , 0⩽θ⩽2π} .03 极坐标系下二重积分的推导
当积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标表示较为简单时，二重积分有时可用极坐标来计算。 我 们 来 考 虑 面 积 元 素 Δ σ 在 极 坐 标 下 的 形 式 。 用 r 为 常 数 所 表 示 的 圆 周 族 和 θ 为 常 数 所 表 示 的 射 线 族 分 割 区 域 D ， 那 么 小 区 域 面 积 Δ σ = 1 2 [ ( r + Δ r ) 2 Δ θ − r 2 Δ θ ] = 1 2 [ 2 r Δ r + ( Δ r ) 2 ] Δ θ ⟹ d σ = r d r d θ 从 直 角 坐 标 变 换 为 极 坐 标 时 的 二 重 积 分 的 变 换 公 式 ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∬ D f ( r cos θ , r sin θ ) r d r d θ 若 区 域 D = { ( r , θ ) ∣ r 1 ( θ ) ≤ r ≤ r 2 ( θ ) , α ≤ θ ≤ β } 二 重 积 分 化 为 累 次 积 分 ∬ D f ( r cos θ , r sin θ ) r d r d θ = ∫ α β d θ ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) r d θ \begin{aligned} & 我们来考虑面积元素 \Delta \sigma 在极坐标下的形式。\\ & 用 r 为常数所表示的圆周族和 \theta 为常数所表示的射线族分割区域 D，那么小区域面积\\ & \Delta \sigma=\frac{1}{2}\left[(r+\Delta r)^{2} \Delta \theta-r^{2} \Delta \theta\right]=\frac{1}{2}\left[2 r \Delta r+(\Delta r)^{2}\right] \Delta \theta \\ & \Longrightarrow \quad d \sigma=r d r d \theta\\ & 从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的变换公式\\ & \quad\quad\quad\quad\iint \limits_{D} f(x, y) d x d y=\iint \limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta\\ & 若区域 D =\left\{(r, \theta) \mid r_{1}(\theta) \leq r \leq r_{2}(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta\right\} \\ & 二重积分化为累次积分\\ & \iint \limits_{D} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta = \int_{\alpha}^{\beta} d \theta \int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d \theta \end{aligned} 我们来考虑面积元素Δσ在极坐标下的形式。用r为常数所表示的圆周族和θ为常数所表示的射线族分割区域D，那么小区域面积Δσ=21[(r+Δr)2Δθ−r2Δθ]=21[2rΔr+(Δr)2]Δθ⟹dσ=rdrdθ从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的变换公式D∬f(x,y)dxdy=D∬f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ若区域D={(r,θ)∣r1(θ)≤r≤r2(θ),α≤θ≤β}二重积分化为累次积分D∬f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdθ
四、二重积分积分技巧
利用区域 D D D 的对称性与被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 关于相应变量的奇偶性简化二重积分的计算。 若 D 关 于 x 轴 对 称 ， 则 ∬ D f ( x ) d σ = { 0 f ( x , − y ) = − f ( x , y ) 2 ∬ D 1 f ( x ) d σ f ( x , − y ) = f ( x , y ) \begin{aligned} & 若\ D\ 关于\ x\ 轴对称，则\\ & \quad\quad\iint \limits_{D} f(x) d\sigma=\left\{\begin{array}{cc}0 & f(x,-y)=-f(x,y) \\ 2 \iint \limits_{D_1} f(x) d\sigma & f(x,-y)=f(x,y) \end{array}\right. \end{aligned} 若 D 关于 x 轴对称，则D∬f(x)dσ={02D1∬f(x)dσf(x,−y)=−f(x,y)f(x,−y)=f(x,y)
对于一般区域的二重积分可将其分成若干个正则子区域，利用积分的可加性，分别在各子区域积分后求和。
当积分区域关于 x x x 轴或 y y y 轴对称时，注意被积函数是否有奇偶性，从而使积分简化。对称性非常重要！
