1.贝尔算符

在讨论量子纠缠态的应用之前，我们先来看看量子力学史上的几个经典术语。

薛定谔的猫和EPR佯谬

(资料图)

在玻尔提出了量子的叠加态和测量时发生坍缩的理论时，这个理论是很不符合常理的，众多的科学家都向其提出质疑，其中流传最为广泛的一个质疑的声音就是薛定谔提出的猫。薛定谔的猫这个问题大家应该都耳熟能详，其核心问题就是：粒子可以处于两种基态的叠加态，如果其中的一个基态会导致猫死亡，一个基态不会对猫造成影响，那么处于叠加态的粒子会让猫处于死亡和活着的叠加状态吗？常理告诉我们，这是不可能的事情。因此，薛定谔将微观粒子的状态叠加扩大到宏观的猫的生死状态，意图证明叠加态的错误。

再来说说另外一个问题，“EPR佯谬”。这个实验是由E:爱因斯坦、P:波多尔斯基和R:罗森1935年为论证量子力学的不完备性而提出的一个悖论。它主要提出的问题是对量子纠缠的质疑，前面我们说过，处于纠缠态的两个粒子，会存在某种关联，对其中一个粒子进行某种操作会影响到另外一个粒子的状态，这种影响是绝对的，不管两个粒子在空间上分开的多远，这种影响都能在瞬间产生。对于爱因斯坦来说，他认为要么就是存在某种超距离的作用产生了这种影响，要不就是量子力学的描述不完备。

贝尔不等式        贝尔是一位加速器设计工程师，同时也是爱因斯坦的脑残粉，他的业余爱好就是研究量子力学的基础理论。他基于爱因斯坦的隐参数理论推导出著名的贝尔不等式，从而人们可以在实验上根据贝尔不等式判定量子力学正确还是爱因斯坦正确。

法国学者首先证实了贝尔不等式可以违背，之后更多的实验支持了这个结论，即宏观世界遵守贝尔不等式，而微观世界能够违背贝尔不等式，从而证实了量子力学的正确性和量子力学非局域性的基本性质。现在由 EPR 佯谬中揭示的量子关联效应常被称为 EPR 效应，它是非局域性的提现。

贝尔态基        贝尔态基是用于描述两个量子比特（qubit）系统的四种最大纠缠态的。它由下面的四个态矢组成： ∣ β 00 ⟩ = ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 = 1 2 [ 1 0 0 0 ] + 1 2 [ 0 0 0 1 ] = 1 2 [ 1 0 0 1 ] |\beta_{00}\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]+ \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right] ∣β00⟩=2 ∣00⟩+∣11⟩=2 1⎣⎢⎢⎡1000⎦⎥⎥⎤+2 1⎣⎢⎢⎡0001⎦⎥⎥⎤=2 1⎣⎢⎢⎡1001⎦⎥⎥⎤

∣ β 01 ⟩ = ∣ 01 ⟩ + ∣ 10 ⟩ 2 = 1 2 [ 0 1 0 0 ] + 1 2 [ 0 0 1 0 ] = 1 2 [ 0 1 1 0 ] |\beta_{01}\rangle=\frac{|01\rangle+|10\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]+ \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right]= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right] ∣β01⟩=2 ∣01⟩+∣10⟩=2 1⎣⎢⎢⎡0100⎦⎥⎥⎤+2 1⎣⎢⎢⎡0010⎦⎥⎥⎤=2 1⎣⎢⎢⎡0110⎦⎥⎥⎤

∣ β 10 ⟩ = ∣ 00 ⟩ − ∣ 11 ⟩ 2 = 1 2 [ 1 0 0 0 ] − 1 2 [ 0 0 0 1 ] = 1 2 [ 1 0 0 − 1 ] |\beta_{10}\rangle=\frac{|00\rangle-|11\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]- \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\right] ∣β10⟩=2 ∣00⟩−∣11⟩=2 1⎣⎢⎢⎡1000⎦⎥⎥⎤−2 1⎣⎢⎢⎡0001⎦⎥⎥⎤=2 1⎣⎢⎢⎡100−1⎦⎥⎥⎤

∣ β 11 ⟩ = ∣ 01 ⟩ − ∣ 10 ⟩ 2 = 1 2 [ 0 1 0 0 ] − 1 2 [ 0 0 1 0 ] = 1 2 [ 0 1 − 1 0 ] |\beta_{11}\rangle=\frac{|01\rangle-|10\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]- \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right]= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right] ∣β11⟩=2 ∣01⟩−∣10⟩=2 1⎣⎢⎢⎡0100⎦⎥⎥⎤−2 1⎣⎢⎢⎡0010⎦⎥⎥⎤=2 1⎣⎢⎢⎡01−10⎦⎥⎥⎤

贝尔态基也可以写成下列形式： ∣ Ψ ( ± ) ⟩ = ( ∣ 01 ⟩ ± ∣ 10 ⟩ ) 2 = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ ⊗ ∣ 1 ⟩ ± ∣ 1 ⟩ ⊗ ∣ 0 ⟩ ) ： ( ∣ β 01 ⟩ ， ∣ β 11 ⟩ ) |\Psi^{(\pm)}\rangle=\frac{(|01\rangle\pm|10\rangle)}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle\otimes|1\rangle\pm|1\rangle\otimes|0\rangle)： (|\beta_{01}\rangle，|\beta_{11}\rangle) ∣Ψ(±)⟩=2 (∣01⟩±∣10⟩)=2 1(∣0⟩⊗∣1⟩±∣1⟩⊗∣0⟩)：(∣β01⟩，∣β11⟩)

∣ Φ ( ± ) ⟩ = ( ∣ 00 ⟩ ± ∣ 11 ⟩ ) 2 = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ ⊗ ∣ 0 ⟩ ± ∣ 1 ⟩ ⊗ ∣ 1 ⟩ ) ： ( ∣ β 00 ⟩ ， ∣ β 10 ⟩ ) |\Phi^{(\pm)}\rangle=\frac{(|00\rangle\pm|11\rangle)}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle\otimes|0\rangle\pm|1\rangle\otimes|1\rangle)： (|\beta_{00}\rangle，|\beta_{10}\rangle) ∣Φ(±)⟩=2 (∣00⟩±∣11⟩)=2 1(∣0⟩⊗∣0⟩±∣1⟩⊗∣1⟩)：(∣β00⟩，∣β10⟩)

2.量子纠缠状态

前面我们讨论过，量子纠缠状态指的是两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联，是量子系统内各子系统或各自由度之间关联的力学属性。

量子的纠缠状态可以描述为：如果 qubit 列的叠加状态无法用各 qubit 的张量乘积表示，这种叠加状态就称为量子纠缠状态。对于下面的状态，它可以用两个量子比特的张量积表示，因此是非纠缠态的。 1 2 ∣ 00 ⟩ + 1 2 ∣ 10 ⟩ = 1 2 ∣ 0 ⟩ ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 1 ⟩ ∣ 0 ⟩ = ( 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 0 ⟩ ) ∣ 0 ⟩ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt[]{2}} |00\rangle+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|10\rangle & =\frac{1}{\sqrt[]{2}} |0\rangle|0\rangle+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|1\rangle|0\rangle \\ &=(\frac{1}{\sqrt[]{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt[]{2}}|0\rangle) |0\rangle \end{aligned} 2 1∣00⟩+2 1∣10⟩=2 1∣0⟩∣0⟩+2 1∣1⟩∣0⟩=(2 1∣0⟩+2 1∣0⟩)∣0⟩

但是对于下面的状态，它不能表示为两个 qubit 的乘积，因此是属于纠缠态的 1 2 ∣ 01 ⟩ + 1 2 ∣ 10 ⟩ \frac{1}{\sqrt[]{2}} |01\rangle+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|10\rangle 2 1∣01⟩+2 1∣10⟩ 再看下面的叠加态： 1 2 ( ∣ 010 ⟩ + ∣ 011 ⟩ + ∣ 100 ⟩ + ∣ 101 ⟩ ) = ( 1 2 ∣ 01 ⟩ + 1 2 ∣ 10 ⟩ ) ( 1 2 ∣ 0 ⟩ + 1 2 ∣ 1 ⟩ ) \frac{1}{2}(|010\rangle+|011\rangle+|100\rangle+|101\rangle)= (\frac{1}{\sqrt{2}}|01\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|10\rangle) (\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle) 21(∣010⟩+∣011⟩+∣100⟩+∣101⟩)=(2 1∣01⟩+2 1∣10⟩)(2 1∣0⟩+2 1∣1⟩)

其乘积的左因子是两个纠缠态的 qubit ，所以这个叠加状态也是纠缠态。

前面我们讨论了两个量子比特（qubit）系统的四种最大纠缠态的表示——贝尔态基：

∣ β 00 ⟩ = ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 = 1 2 [ 1 0 0 1 ] |\beta_{00}\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right] ∣β00⟩=2 ∣00⟩+∣11⟩=2 1⎣⎢⎢⎡1001⎦⎥⎥⎤

∣ β 01 ⟩ = ∣ 01 ⟩ + ∣ 10 ⟩ 2 = 1 2 [ 0 1 1 0 ] |\beta_{01}\rangle=\frac{|01\rangle+|10\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right] ∣β01⟩=2 ∣01⟩+∣10⟩=2 1⎣⎢⎢⎡0110⎦⎥⎥⎤

∣ β 10 ⟩ = ∣ 00 ⟩ − ∣ 11 ⟩ 2 = 1 2 [ 1 0 0 − 1 ] |\beta_{10}\rangle=\frac{|00\rangle-|11\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\right] ∣β10⟩=2 ∣00⟩−∣11⟩=2 1⎣⎢⎢⎡100−1⎦⎥⎥⎤

∣ β 11 ⟩ = ∣ 01 ⟩ − ∣ 10 ⟩ 2 = 1 2 [ 0 1 − 1 0 ] |\beta_{11}\rangle=\frac{|01\rangle-|10\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right] ∣β11⟩=2 ∣01⟩−∣10⟩=2 1⎣⎢⎢⎡01−10⎦⎥⎥⎤

显然，四个贝尔态基都是纠缠态。贝尔态基在量子信息理论中，特别是在量子纠错编码理论中有着不可代替的作用。下面我们通过一下量子纠缠态的生成方法来深入的了解量子纠缠状态的性质。

3.纠缠态的生成方法

量子纠缠态的生成通过下图所示的量子状态变换回路：        用量子比特对的一个基底状态 ∣ 00 ⟩ |00\rangle ∣00⟩ 作为输入状态，我们来一下它的输出状态。

首先经过 H-Gate 门后的状态变为： ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ 2 ) ∣ 0 ⟩ = ∣ 00 ⟩ + ∣ 10 ⟩ 2 (\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}})|0\rangle=\frac{|00\rangle+|10\rangle}{\sqrt{2}} (2 ∣0⟩+∣1⟩)∣0⟩=2 ∣00⟩+∣10⟩

再将该状态经过 Controlled - NOT - Gate 变换得到输出结果： ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 \frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}} 2 ∣00⟩+∣11⟩

这里我们比较一下就能发现，得到的结果就是贝尔态基中的第一个 ∣ β 00 ⟩ |\beta_{00}\rangle ∣β00⟩，同理，如果我们对两个子比特组成的四个基底 ∣ 00 ⟩ 、 ∣ 01 ⟩ 、 ∣ 10 ⟩ 、 ∣ 11 ⟩ |00\rangle、|01\rangle、|10\rangle、|11\rangle ∣00⟩、∣01⟩、∣10⟩、∣11⟩ 经过该量子状态变换回路可以得到结果如下：

输入状态输出状态

∣ 00 ⟩ \vert00\rangle ∣00⟩∣ β 00 ⟩ = ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 \vert\beta_{00}\rangle=\frac{\vert00\rangle+\vert11\rangle}{\sqrt{2}} ∣β00⟩=2 ∣00⟩+∣11⟩

∣ 01 ⟩ \vert01\rangle ∣01⟩∣ β 01 ⟩ = ∣ 01 ⟩ + ∣ 10 ⟩ 2 \vert\beta_{01}\rangle=\frac{\vert01\rangle+\vert10\rangle}{\sqrt{2}} ∣β01⟩=2 ∣01⟩+∣10⟩

∣ 10 ⟩ \vert10\rangle ∣10⟩∣ β 00 ⟩ = ∣ 00 ⟩ − ∣ 11 ⟩ 2 \vert\beta_{00}\rangle=\frac{\vert00\rangle-\vert11\rangle}{\sqrt{2}} ∣β00⟩=2 ∣00⟩−∣11⟩

∣ 11 ⟩ \vert11\rangle ∣11⟩∣ β 01 ⟩ = ∣ 00 ⟩ − ∣ 10 ⟩ 2 \vert\beta_{01}\rangle=\frac{\vert00\rangle-\vert10\rangle}{\sqrt{2}} ∣β01⟩=2 ∣00⟩−∣10⟩

至此我们知道对于基底 qubit 对经过如上的状态变换回路，可以生成纠缠状态，上面的四种状态 { ∣ β 00 ⟩ ， ∣ β 01 ⟩ ， ∣ β 10 ⟩ ， ∣ β 11 ⟩ } \{|\beta_{00}\rangle，|\beta_{01}\rangle，|\beta_{10}\rangle，|\beta_{11}\rangle\} {∣β00⟩，∣β01⟩，∣β10⟩，∣β11⟩}称为贝尔状态，也成为 EPR状态或 EPR对。

贝尔状态是 qubit 对的一组正规直交基底。例如，对于 ∣ β 00 ⟩ |\beta_{00}\rangle ∣β00⟩ 计算其内积： ⟨ β 00 ∣ β 00 ⟩ = ( ⟨ 00 ∣ + ⟨ 11 ∣ ) ( ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ ) 2 = ⟨ 00 ∣ 00 ⟩ + ⟨ 11 ∣ 00 ⟩ + ⟨ 00 ∣ 11 ⟩ + ⟨ 11 ∣ 11 ⟩ 2 = 1 + 0 + 0 + 1 2 = 1 \begin{aligned} \langle\beta_{00}|\beta_{00}\rangle & =\frac{( \langle00|+\langle11|)(|00\rangle+|11\rangle)}{2} \\ & =\frac{ \langle00|00\rangle+\langle11|00\rangle+\langle00|11\rangle+\langle11|11\rangle} {2} \\ & =\frac{1+0+0+1}{2}=1 \end{aligned} ⟨β00∣β00⟩=2(⟨00∣+⟨11∣)(∣00⟩+∣11⟩)=2⟨00∣00⟩+⟨11∣00⟩+⟨00∣11⟩+⟨11∣11⟩=21+0+0+1=1

同理可知贝尔状态都已被规范化了。        我们选择 ∣ β 00 ⟩ ， ∣ β 10 ⟩ |\beta_{00}\rangle，|\beta_{10}\rangle ∣β00⟩，∣β10⟩ 计算内积： ⟨ β 00 ∣ β 10 ⟩ = ( ⟨ 00 ∣ + ⟨ 11 ∣ ) ( ∣ 00 ⟩ − ∣ 11 ⟩ ) 2 = ⟨ 00 ∣ 00 ⟩ + ⟨ 11 ∣ 00 ⟩ − ⟨ 00 ∣ 11 ⟩ − ⟨ 11 ∣ 11 ⟩ 2 = 1 + 0 − 0 − 1 2 = 0 \begin{aligned} \langle\beta_{00}|\beta_{10}\rangle & =\frac{( \langle00|+\langle11|)(|00\rangle-|11\rangle)}{2} \\ &=\frac{ \langle00|00\rangle+\langle11|00\rangle-\langle00|11\rangle-\langle11|11\rangle}{2} \\ &=\frac{1+0-0-1}{2}=0 \end{aligned} ⟨β00∣β10⟩=2(⟨00∣+⟨11∣)(∣00⟩−∣11⟩)=2⟨00∣00⟩+⟨11∣00⟩−⟨00∣11⟩−⟨11∣11⟩=21+0−0−1=0

同理我们可以得出它们都是正交的。

4.对纠缠态的测定

下面我们来看一下对纠缠状态进行测量时，纠缠状态所呈现出的性质。以具有代表性的纠缠状态——贝尔状态为例： ∣ β 00 ⟩ = ∣ 00 ⟩ + ∣ 11 ⟩ 2 |\beta_{00}\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}} ∣β00⟩=2 ∣00⟩+∣11⟩ 在对该状态进行测量时，各个 qubit 比特列获得的概率是:

输出状态概率

00∣ ⟨ 00 ∣ β 00 ⟩ ∣ 2 = 1 2 \vert\langle00\vert\beta_{00}\rangle\vert^2=\frac{1}{2} ∣⟨00∣β00⟩∣2=21

01∣ ⟨ 01 ∣ β 00 ⟩ ∣ 2 = 0 \vert\langle01\vert\beta_{00}\rangle\vert^2=0 ∣⟨01∣β00⟩∣2=0

10∣ ⟨ 10 ∣ β 00 ⟩ ∣ 2 = 0 \vert\langle10\vert\beta_{00}\rangle\vert^2=0 ∣⟨10∣β00⟩∣2=0

11∣ ⟨ 11 ∣ β 00 ⟩ ∣ 2 = 1 2 \vert\langle11\vert\beta_{00}\rangle\vert^2=\frac{1}{2} ∣⟨11∣β00⟩∣2=21

从结果中我们可以知道，贝尔状态 qubit 对的测定结果：当第一位测定结果为 0 时，第二位也必定为 0 ；当第一位测定结果为 1 时，第二位也必定为 1 。这个现象非常奇妙，如果将两个纠缠态的量子比特分给别人一个，那么我测定一下我手里的状态，就能知道别人手里的粒子现在的状态，amazing！这其实就是 qubit 之间存在的一种超强作用力，即“量子相关作用”的相干关系。

5.量子纠缠态的应用

通过上面对纠缠状态的讨论，我们发现了量子状态的超强作力，那么这些超强作用力怎么能应用到现实中呢？下面就介绍几种量子纠缠状态的应用。

量子密钥分配

量子密钥分配是量子纠缠状态的最初的实际应用。现在假设有一贝尔状态 ∣ β 00 ⟩ = ∣ 0 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 1 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B 2 |\beta_{00}\rangle=\frac{|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B}{\sqrt{2}} ∣β00⟩=2 ∣0⟩A∣0⟩B+∣1⟩A∣1⟩B

其中一位让用户 A 拥有，第二位让用户 B 拥有；式中 ∣ ⋅ ⟩ A | ·\rangle_A ∣⋅⟩A 或 ∣ ⋅ ⟩ B | ·\rangle_B ∣⋅⟩B 分别表示用户 A 或用户 B 拥有的 qubit 。此时用户 A 拥有的粒子的状态为 ∣ A ⟩ = ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ 2 |A\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}} ∣A⟩=2 ∣0⟩+∣1⟩ 而用户 B 拥有粒子的状态为 ∣ B ⟩ = ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ 2 |B\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}} ∣B⟩=2 ∣0⟩+∣1⟩ ，如果用户 A 首先在基底 { ∣ 0 ⟩ , ∣ 1 ⟩ } \{ |0\rangle,|1\rangle\} {∣0⟩,∣1⟩} 上测定自己拥有的 qubit ，此时 A 可以等概率的获得 0 或 1 的结果。当 A 进行测量之后，B 再进行测量就会服从 A 的结果。

两人测定的结果如下所示：

A 的测定结果B 的测定结果

∣ 0 ⟩ \vert0\rangle ∣0⟩∣ 0 ⟩ \vert0\rangle ∣0⟩

∣ 1 ⟩ \vert1\rangle ∣1⟩∣ 1 ⟩ \vert1\rangle ∣1⟩

通过以上的过程可以发现，每进行一次这样的操作，双方就会产生一位相同的 bit 位，如果对 n 位贝尔状态实施这样的操作，A 和 B 就能够共同拥有 n 个 bit 位的随机生成的密钥。我们思考它的过程，如果每次传输都重新产生密钥，那么我们就能够达到香农所描述的绝对安全的加密传输，这便是量子纠缠在加密传输中的巨大潜力。

量子高密度编码

在量子通信的领域中，我们利用量子纠缠状态实现量子高密度编码，量子高密度编码能够实现一个 qubit 传送 2 bit 经典信息的机能。下面对这种编码方式做出简洁的介绍。

现在假设有一贝尔状态 ∣ β 00 ⟩ = ∣ 0 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 1 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B 2 |\beta_{00}\rangle=\frac{|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B}{\sqrt{2}} ∣β00⟩=2 ∣0⟩A∣0⟩B+∣1⟩A∣1⟩B

将其中的两个量子比特分给 A 和 B ，式中 ∣ ⋅ ⟩ A | ·\rangle_A ∣⋅⟩A 或 ∣ ⋅ ⟩ B | ·\rangle_B ∣⋅⟩B 分别表示用户 A 或用户 B 拥有的 qubit 。若用户 A 需要向用户 B 传送 2 bit 的经典信息，那么 A 根据自己要发送的经典信息对自己拥有的 qubit 做如下的操作：

要发送的经典信息对拥有的 qubit 实施的操作

00什么操作也不施加

01施加 X - Gate 演算 X = [ 0 1 1 0 ] X=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right] X=[0110]

10施加 Z - Gate 演算 Z = [ 1 0 0 − 1 ] Z=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right] Z=[100−1]

11施加 X - Gate 演算和 Z - Gate 演算 XZ

用户 A 通过上述操作，这个纠缠状态变为下列状态：

要发送的经典信息施加操作后的纠缠状态

00β 00 ⟩ \beta_{00}\rangle β00⟩

01X ∣ β 00 ⟩ = ( X ∣ 0 ⟩ A ) ∣ 0 ⟩ B + ( X ∣ 1 ⟩ A ) ∣ 1 ⟩ B 2 = ∣ 1 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 0 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B 2 = ∣ β 01 ⟩ X\vert\beta_{00}\rangle=\frac{(X\vert0\rangle_A)\vert0\rangle_B+(X\vert1\rangle_A)\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\frac{\vert1\rangle_A\vert0\rangle_B+\vert0\rangle_A\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\vert\beta_{01}\rangle X∣β00⟩=2 (X∣0⟩A)∣0⟩B+(X∣1⟩A)∣1⟩B=2 ∣1⟩A∣0⟩B+∣0⟩A∣1⟩B=∣β01⟩

10Z ∣ β 00 ⟩ = ( Z ∣ 0 ⟩ A ) ∣ 0 ⟩ B + ( Z ∣ 1 ⟩ A ) ∣ 1 ⟩ B 2 = ∣ 0 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B − ∣ 1 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B 2 = ∣ β 10 ⟩ Z\vert\beta_{00}\rangle=\frac{(Z\vert0\rangle_A)\vert0\rangle_B+(Z\vert1\rangle_A)\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\frac{\vert0\rangle_A\vert0\rangle_B-\vert1\rangle_A\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\vert\beta_{10}\rangle Z∣β00⟩=2 (Z∣0⟩A)∣0⟩B+(Z∣1⟩A)∣1⟩B=2 ∣0⟩A∣0⟩B−∣1⟩A∣1⟩B=∣β10⟩

11Z X ∣ β 00 ⟩ = ( Z X ∣ 0 ⟩ A ) ∣ 0 ⟩ B + ( Z X ∣ 1 ⟩ A ) ∣ 1 ⟩ B 2 = − ∣ 1 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 0 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B 2 = ∣ β 11 ⟩ ZX\vert\beta_{00}\rangle=\frac{(ZX\vert0\rangle_A)\vert0\rangle_B+(ZX\vert1\rangle_A)\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\frac{-\vert1\rangle_A\vert0\rangle_B+\vert0\rangle_A\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\vert\beta_{11}\rangle ZX∣β00⟩=2 (ZX∣0⟩A)∣0⟩B+(ZX∣1⟩A)∣1⟩B=2 −∣1⟩A∣0⟩B+∣0⟩A∣1⟩B=∣β11⟩

送信者 A 在对自己拥有的 qubit 实施操作以后将自己拥有的 qubit 传送给收信者 B，此时收信者 B 拥有整个 qubit 的状态。因为贝尔状态 { ∣ β 00 ⟩ ， ∣ β 01 ⟩ ， ∣ β 10 ⟩ ， ∣ β 11 ⟩ } \{|\beta_{00}\rangle，|\beta_{01}\rangle，|\beta_{10}\rangle，|\beta_{11}\rangle\} {∣β00⟩，∣β01⟩，∣β10⟩，∣β11⟩} 构成正规直交基底，因此通过基于贝尔状态的测定，B 能够正确地知道 qubit 对的状态是 4 个状态中的哪一个，根据测量的结果就能用下面的规则还原 A 发送来的信息。

判定结果还原的信息

∣ β 00 ⟩ \vert\beta_{00}\rangle ∣β00⟩00

∣ β 01 ⟩ \vert\beta_{01}\rangle ∣β01⟩01

∣ β 10 ⟩ \vert\beta_{10}\rangle ∣β10⟩10

∣ β 11 ⟩ \vert\beta_{11}\rangle ∣β11⟩11

这里我们再对高密度编码问题进行更一般性的讨论，即如果通信双方之间存在一个能够传送 qubit 的且不产生误码的信道，我们考虑一下为了从 A 向 B 发送 n 个 bit 的信息，双方需要多少量子比特来传送信息比较妥当，下面的定理解答了这个问题。

该定理主要想要说明的问题就是，如果 A 需要向 B 发送 n 个 bit 的经典信息，利用 qubit 的高密度编码，双方需要互相交换多少 qubit 的信息。

双方不共有纠缠态 qubit 的情况下，如果 n A B < n \pmb{n_{AB}<N} nab<nnab<nnab<n="" 说明从a="" 能够传到="" 的="" qubit="" 的个数小于经典="" 的个数，这时我可以通过="" 向="" 个处于贝尔状态的粒子，这时="" 可以用这些粒子传送="" \pmb{2×n_{ba}}="" 2×nba2×nba2×nba="" 个经典比特的信息，剩余的信息用="" \pmb{n_{ab}-2\times="" n_{ba}}="" nab−2×nbanab−2×nbanab−2×nba个粒子传送，如果="" −="" \pmb{n_{ab}-n_{ba}="" \geq="" n-2×n_{ba}}="" nab−nba≥n−2×nbanab−nba≥n−2×nbanab−nba≥n−2×nba，那么信息就能传送完毕，否则信息是一定不能传送完的，对上式做变换就能得到="" +="" ≥="" \pmb{n_{ab}+n_{ba}\geq="" n}="" nab+nba≥nnab+nba≥nnab+nba≥n。="" 如果="" \pmb{n_{ab}<\frac{n}{2}}="" nab<2nnab<2nnab<2n，不管="" \pmb{n_{ba}}="" nbanbanba="" 有多大，a="" 最多利用高密度传送="" ×="" <="" \pmb{2×n_{ab}<n}="" 2×nab<n2×nab<n2×nab<n="" 信息，是不能满足="" 个="" bit="" 信息的要求的。双方有无数个纠缠态时，可以直接使用="" n="" a="" b="" 2="" \pmb{n_{ab}="\frac{n}{2}}" nab="2nnAB=2nnAB=2n" 传送="" n个经典 bit ，所以 n A B ≥ [ n 2 ] \pmb{n_{AB}\geq\left[ \begin{matrix} \frac{n}{2} \end{matrix}\right]} nAB≥[2n]nAB≥[2n]nAB≥[2n].

量子瞬间传递（量子隐形传态）

量子瞬间传递的过程实现了将一个量子的状态传递给另外一个量子。在这个过程中即使没有量子信道，发送者也可以向接收者传送 qubit ，量子瞬间传送的名字也由此而来。下面讨论实现量子隐形传态的方法。 首先，发送者 A 和 接收者 B 共同拥有下面的贝尔态： ∣ β 00 ⟩ = ∣ 0 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 1 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B 2 |\beta_{00}\rangle=\frac{|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B}{\sqrt{2}} ∣β00⟩=2 ∣0⟩A∣0⟩B+∣1⟩A∣1⟩B

将其中的两个量子比特分给 A 和 B ，式中 ∣ ⋅ ⟩ A | ·\rangle_A ∣⋅⟩A 或 ∣ ⋅ ⟩ B | ·\rangle_B ∣⋅⟩B 分别表示用户 A 或用户 B 拥有的 qubit 。假设发送者 A 希望将 qubit 信息 ∣ φ ⟩ = α ∣ 0 ⟩ A + β ∣ 1 ⟩ A \pmb{|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle_A+\beta|1\rangle_A} ∣φ⟩=α∣0⟩A+β∣1⟩A∣φ⟩=α∣0⟩A+β∣1⟩A∣φ⟩=α∣0⟩A+β∣1⟩A 发送给 B ,则送信者的初始状态如下： ∣ ξ 0 ⟩ = ∣ φ ⟩ ∣ β 00 ⟩ = ( α ∣ 0 ⟩ A + β ∣ 1 ⟩ A ) ( ∣ 0 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 1 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B 2 ) = 1 2 { α ( ∣ 00 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 01 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B ) + β ( ∣ 10 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 11 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B ) } \begin{aligned} |\xi_0\rangle & =|\varphi\rangle|\beta_{00}\rangle \\ &=(\alpha|0\rangle_A+\beta|1\rangle_A)(\frac{|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B}{\sqrt{2}}) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\{\alpha(|00\rangle_A|0\rangle_B+|01\rangle_A|1\rangle_B)+\beta(|10\rangle_A|0\rangle_B+|11\rangle_A|1\rangle_B) \} \end{aligned} ∣ξ0⟩=∣φ⟩∣β00⟩=(α∣0⟩A+β∣1⟩A)(2 ∣0⟩A∣0⟩B+∣1⟩A∣1⟩B)=2 1{α(∣00⟩A∣0⟩B+∣01⟩A∣1⟩B)+β(∣10⟩A∣0⟩B+∣11⟩A∣1⟩B)}

①A 先对自己拥有的两个 qubit 经过控制非门（Controlled - NOT - Gate）演算变换，之后整体的状态变为 ∣ ξ 1 ⟩ = 1 2 { α ( ∣ 00 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 01 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B ) + β ( ∣ 11 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 10 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B ) } |\xi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\{\alpha(|00\rangle_A|0\rangle_B+|01\rangle_A|1\rangle_B)+\beta(|11\rangle_A|0\rangle_B+|10\rangle_A|1\rangle_B) \} ∣ξ1⟩=2 1{α(∣00⟩A∣0⟩B+∣01⟩A∣1⟩B)+β(∣11⟩A∣0⟩B+∣10⟩A∣1⟩B)}

②对自己要传送的量子比特做 H - Gate 演算，则 H ∣ 0 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ )      H ∣ 1 ⟩ = 1 2 ( ∣ 0 ⟩ − ∣ 1 ⟩ ) H|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\ \ \ \ H|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) H∣0⟩=2 1(∣0⟩+∣1⟩)    H∣1⟩=2 1(∣0⟩−∣1⟩)

之后整体的状态将变为 ∣ ξ 2 ⟩ = 1 2 { α ( H ∣ 0 ⟩ A ) ( ∣ 0 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 1 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B ) + β ( H ∣ 1 ⟩ A ) ( ∣ 1 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 0 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B ) } = 1 2 { α ( ∣ 0 ⟩ A + ∣ 1 ⟩ A ) ( ∣ 0 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 1 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B ) + β ( ∣ 0 ⟩ A − ∣ 1 ⟩ A ) ( ∣ 1 ⟩ A ∣ 0 ⟩ B + ∣ 0 ⟩ A ∣ 1 ⟩ B ) } = 1 2 { ∣ 00 ⟩ A ( α ∣ 0 ⟩ B + β ∣ 1 ⟩ B ) + ∣ 01 ⟩ A ( α ∣ 1 ⟩ B + β ∣ 0 ⟩ B ) + ∣ 10 ⟩ A ( α ∣ 0 ⟩ B − β ∣ 1 ⟩ B ) + ∣ 11 ⟩ A ( α ∣ 1 ⟩ B − β ∣ 0 ⟩ B ) } \begin{aligned} |\xi_2\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2}}\{\alpha(H|0\rangle_A)(|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B)+ \beta(H|1\rangle_A)(|1\rangle_A|0\rangle_B+|0\rangle_A|1\rangle_B) \} \\ &=\frac{1}{2}\{ \alpha(|0\rangle_A+|1\rangle_A)(|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B)+ \beta(|0\rangle_A-|1\rangle_A)(|1\rangle_A|0\rangle_B+|0\rangle_A|1\rangle_B) \} \\ & =\frac{1}{2}\{|00\rangle_A(\alpha|0\rangle_B+\beta|1\rangle_B) + |01\rangle_A(\alpha|1\rangle_B+\beta|0\rangle_B) + |10\rangle_A(\alpha|0\rangle_B-\beta|1\rangle_B) + |11\rangle_A(\alpha|1\rangle_B-\beta|0\rangle_B)\} \end{aligned} ∣ξ2⟩=2 1{α(H∣0⟩A)(∣0⟩A∣0⟩B+∣1⟩A∣1⟩B)+β(H∣1⟩A)(∣1⟩A∣0⟩B+∣0⟩A∣1⟩B)}=21{α(∣0⟩A+∣1⟩A)(∣0⟩A∣0⟩B+∣1⟩A∣1⟩B)+β(∣0⟩A−∣1⟩A)(∣1⟩A∣0⟩B+∣0⟩A∣1⟩B)}=21{∣00⟩A(α∣0⟩B+β∣1⟩B)+∣01⟩A(α∣1⟩B+β∣0⟩B)+∣10⟩A(α∣0⟩B−β∣1⟩B)+∣11⟩A(α∣1⟩B−β∣0⟩B)}

这里我们把这几个状态的叠加分开来看 ∣ 00 ⟩ A ( α ∣ 0 ⟩ B + β ∣ 1 ⟩ B ) |00\rangle_A(\alpha|0\rangle_B+\beta|1\rangle_B) ∣00⟩A(α∣0⟩B+β∣1⟩B) ∣ 01 ⟩ A ( α ∣ 1 ⟩ B + β ∣ 0 ⟩ B ) |01\rangle_A(\alpha|1\rangle_B+\beta|0\rangle_B) ∣01⟩A(α∣1⟩B+β∣0⟩B) ∣ 10 ⟩ A ( α ∣ 0 ⟩ B − β ∣ 1 ⟩ B ) |10\rangle_A(\alpha|0\rangle_B-\beta|1\rangle_B) ∣10⟩A(α∣0⟩B−β∣1⟩B) ∣ 11 ⟩ A ( α ∣ 1 ⟩ B − β ∣ 0 ⟩ B ) |11\rangle_A(\alpha|1\rangle_B-\beta|0\rangle_B) ∣11⟩A(α∣1⟩B−β∣0⟩B)很清晰有木有，我们发现 A 的两个粒子的状态和 B 的状态已经产生了某种关联，通过概率我们可以知道，如果对 A 的两个粒子进行测量，可能的结果就是 { ∣ 00 ⟩ , ∣ 01 ⟩ , ∣ 10 ⟩ , ∣ 11 ⟩ } \{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\} {∣00⟩,∣01⟩,∣10⟩,∣11⟩} 中的一个，当确定了 A 的两个粒子的状态之后，B 拥有的粒子的状态也是确定的了。下表展示了对 A 的粒子进行测量得到结果后，B 拥有粒子的状态。

A 测量的结果B 的状态

∣ 00 ⟩ \vert00\rangle ∣00⟩α ∣ 0 ⟩ + β ∣ 1 ⟩ \alpha\vert0\rangle+\beta\vert1\rangle α∣0⟩+β∣1⟩

∣ 01 ⟩ \vert01\rangle ∣01⟩α ∣ 1 ⟩ + β ∣ 0 ⟩ \alpha\vert1\rangle+\beta\vert0\rangle α∣1⟩+β∣0⟩

∣ 10 ⟩ \vert10\rangle ∣10⟩α ∣ 0 ⟩ − β ∣ 1 ⟩ \alpha\vert0\rangle-\beta\vert1\rangle α∣0⟩−β∣1⟩

∣ 11 ⟩ \vert11\rangle ∣11⟩α ∣ 1 ⟩ − β ∣ 0 ⟩ \alpha\vert1\rangle-\beta\vert0\rangle α∣1⟩−β∣0⟩

③发送者 A 通过经典信道将自己的测量结果发送给 B ，观察 B 的粒子的可能状态，我们可以发现，利用前面讲过的对单比特的量子逻辑门就可以变换出想要的信息 ∣ φ ⟩ = α ∣ 0 ⟩ A + β ∣ 1 ⟩ A \pmb{|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle_A+\beta|1\rangle_A} ∣φ⟩=α∣0⟩A+β∣1⟩A∣φ⟩=α∣0⟩A+β∣1⟩A∣φ⟩=α∣0⟩A+β∣1⟩A ，B 收到该经典信息后，根据经典信息对自己拥有的粒子做下面相应的变换就可以得到 A 要传送的信息 。

A 测量到的状态A发送的 bit 列B 收到 bit 列后对自己粒子所作变换

∣ 00 ⟩ \vert00\rangle ∣00⟩00不做任何操作

∣ 01 ⟩ \vert01\rangle ∣01⟩01执行 X - Gate 演算

∣ 10 ⟩ \vert10\rangle ∣10⟩10执行 Z - Gate 演算

∣ 11 ⟩ \vert11\rangle ∣11⟩11执行 ZX 演算

在发送信息的 A 处，进行的演算与测定流程如下图所示：

量子纠缠状态的交换

在实现量子高密度编码或量子隐形传态的过程中，发送和接收双方共同拥有纠缠状态的粒子是必要的。为了解决这个问题，我们设置一个纠缠态备制中心，所有的用户都和制备中心连接，备制中心可以生成纠缠态的量子然后分发给每个用户，这样备制中心就和每个用户都共有一对纠缠量子对。

例如，备制中心先产生一对纠缠态的量子比特 a和 a’,将 a粒子发送给 A ,再产生一对 b和 b’,将 b发送给 B。 如果 A 要和 B 进行通信，先与备制中心进行联系，告诉备制中心需要和 B 进行通信，备制中心把 b’的状态利用 a和 a’进行量子隐形传态传递给 a。这样 a就和 b形成了一对纠缠的量子，然后 A 与 B 就共同拥有了一对纠缠状态的粒子。

利用纠缠状态交换原理能够构成关于 qubit 的交换机，如下图所示，利用纠缠状态的交换，每个用户仅仅需要与备制中心事先共同拥有各自的纠缠状态，那么任意用户两两之间就能够拥有必要的相互对应的纠缠状态。