如何进行正交试验设计?试验设计—正交表的使用方法

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在进行科学研究时,我们往往需要考虑多个因素和水平来进行试验设计。当因素数和水平数不多的情况下,我们首先考虑的是全面试验,通过数据分析获得丰富的信息,并且得到的分析结果也较为准确。但是,全面试验的试验次数很多,当试验因素数和水平数较多时,该方法就不适用了。

这时候就需要我们选择一个简单比较法——正交试验设计。


【资料图】

正交试验设计是研究多因素多水平的一种设计方法,它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验,这些有代表性的点具备了"均匀分散,齐整可比"的特点,正交试验设计是一种基于正交表的、高效率、快速、经济的试验。

正交试验设计通常通过正交表来安排试验。因此,要学会正交试验设计,首先就要学会正交表的使用。

在介绍正交表的具体内容前,我们先了解一下几个基本概念。

⑴因素数factors:在一项试验中,凡是需要考察的变量的个数。在正交表中为列的个数,这里我们用m表示。

⑵水平数levels,在试验范围内,因素被考察的值的个数(变量的取值个数),这里我们用k表示。

⑶试验次数(Runs):最后生成的正交表的行数,一条(行)记录也就是一次实验,这里我们用n表示。

⑷正交表的表示形式:

例如:

L9(3^4)正交表:4代表因素数,此正交表中所含的列的数目;3为因素的水平数,所有因素都为3水平;9为此正交表的行数,该试验设计的试验次数为9次。

L16(4×2^12)正交表:有1列为4水平,12列为2水平,一共可安排16次试验。

1.正交表的性质:

正交表必须要满足正交性,否则该正交表不成立。

①任意一列中,各水平都出现,且出现的次数相等。

例如:在两水平正交表中,对水平编码为"1"和"2",编码"1"和"2"均出现在每一列中且在每一列中出现次数相等,而任意两列中所构成的有序对子出现的次数相等。在三水平正交表中,对水平编码为"1"、"2"和"3",而编码"1"、"2"、"3"均出现在每一列中且在每一列中出现次数相等,任意两列中所构成的有序对子出现的次数也均相等。这反映了试验点分布的均匀性。

②任意两列之间各种不同水平的所有可能的组合都出现,且出现的次数相等。

例如:在两水平正交表中,任意两列中所构成的有序对子((1,1),(1,2),(2,1),(2,2))都出现,且出现的次数相等。在三水平正交表中,任意两列中所构成的有序对子((1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3))都出现,且出现的次数相等。这一点反映了试验点分布的均衡性。

正交性体现了充分体现了正交表的"均匀分散,整齐可比"的特点,因此正交表具有很强的代表性。

2.正交表的类别

⑴等水平正交表

每一列的水平数均相等的正交表称为等水平正交表。若Ln(K^m)中k=2,如L4(2^3)、L8(2^7)等,则这一类正交表都为两水平正交表;若k=3,如L9(3^4)、L27(3^13)等,则这一类正交表都为两水平正交表。

⑵混合水平正交表

各列水平数不完全相同的正交表称为混合水平正交表。如L16(4×2^12),即:此表的13列中,有1列为4水平,12列为2水平,这类正交表就是混合水平正交表。

3.正交表的选择

当知道实际的因子数和水平数时,可以通过根据公式:试验次数(行数)=∑(每种因素水平数-1)+1,来确定最低试验次数,进而选择适合的正交表。

比如,要考察4因素2水平的研究时,根据公式可算得试验次数(行数)=(2-1)×4+1=5,则这个研究最低需要5次试验。

又如,要考察4因素2水平及5因素3水平的研究时,根据公式可算得试验次数(行数)=(2-1)×4+(3-1)×5+1=15,则这个研究最低需要15次试验。

例1:四君子汤由人参、白术、茯苓和甘草组成,若要找出该复方的最佳组合,应如何安排试验。该研究有4个因素,分别是A(人参),B(白术),C(茯苓),D(甘草),每个因素有3个水平。

我们对这个研究来分析一下:

(1)该研究有4个因素,水平数都为3。

(2)选择正交表:

本题,水平数=3,因素数=4,最低需要(3-1)×4+1=9次。

①若不考虑交互作用

查询附录中的正交表,取水平数为3,因素数≥4,且行数最少的正交表,只有L9(3^4)的行数最少,比较适合。

②若考虑交互作用

L9(3^4)就不合适了,因为它没有交互作用列,此时,就需要考虑选择其他交互表,如L27(3^13)。

例2:某化工厂为了处理含有毒性物质锌和镉的废水,选取因素及水平如下表所示。

我们对这个研究来分析一下:

(1)该研究有4个因素,A因素的水平数为4,其余三个因素的水平数都为3。

(2)选择正交表:

本题,水平数>=max(4,2)=4,因素数≥4,最低需要(4-1)×1+(2-1)×3+1=7次。

①若不考虑交互作用

查询附录中的正交表,取水平数为4,因素数≥4,且行数最少的正交表,只有L8(4×2^4)的行数最少,比较适合。

②若考虑交互作用

L8(4×2^4)就不合适了,因为它仅有一列交互作用列,此时,就需要考虑选择其他交互表,如L16(4×2^12)。

正交表的介绍与使用今天就讲到这里,更多试验设计知识,小编将会在后期的文章中介绍。如果你有试验设计方面的问题可以在评论区提出来,大家一起来讨论。

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