对数的计算公式
性质编辑
① ;
(资料图片仅供参考)
② ;
③负数与零无对数.
④ * =1;
恒等式及证明
a^log(a)(N)=N (a>0 ,a≠1)
推导:log(a) (a^N)=N
恒等式证明
在a>0且a≠1,N>0时
设:当log(a)(N)=t,满足(t∈R)
则有a^t=N;
a^(log(a)(N))=a^t=N;
证明完毕
运算法则编辑
①
②
③
(M,N∈R)如果 ,则m为数a的自然对数,即
,e=2.718281828…为自然对数的底。
定义: 若 则
基本性质:
1、
2、
3、
4、
5、
推导:
1、因为 ,代入则 ,即 。
2、MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数,所以
3、与(2)类似处理 M/N=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数,所以
4、与(2)类似处理 由基本性质1(换掉M)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数,所以
或 由基本性质2(展开 ,如图所示)
对数基本性质4推导过程
基本性质4推广
推导如下: 由换底公式(见下面)[ 是 ,e称作自然对数的底]
换底公式的推导: 设 则
其中
得:
由基本性质4可得
再由换底公式
换底公式编辑
设b=a^m,a=c^n,则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①
对①取以a为底的对数,有:log(a)(b)=m……………………………..②
对①取以c为底的对数,有:log(c)(b)=mn……………………………③
③/②,得:log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)
注:log(a)(b)表示以a为底x的对数。
换底公式拓展:
以e为底数和以a为底数的公式代换:
logae=1/(lna)
推导公式编辑
log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1
求导数编辑
(xlogax)"=logax+1/lna
其中,logax中的a为底数,x为真数;
(logax)"=1/xlna
特殊的即a=e时有
(logex)"=(lnx)"=1/x