对数的计算公式是什么?对数的计算公式性质及推导过程

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对数的计算公式

性质编辑

① ;


(资料图片仅供参考)

②  ;

③负数与零无对数.

④ *  =1;

恒等式及证明

a^log(a)(N)=N (a>0 ,a≠1)

推导:log(a) (a^N)=N

恒等式证明

在a>0且a≠1,N>0时

设:当log(a)(N)=t,满足(t∈R)

则有a^t=N;

a^(log(a)(N))=a^t=N;

证明完毕

运算法则编辑

(M,N∈R)如果 ,则m为数a的自然对数,即

,e=2.718281828…为自然对数的底。

定义: 若   则

基本性质:

1、

2、

3、

4、

5、

推导:

1、因为  ,代入则  ,即  。

2、MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数,所以

3、与(2)类似处理 M/N=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数,所以

4、与(2)类似处理   由基本性质1(换掉M)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数,所以

或   由基本性质2(展开  ,如图所示)

对数基本性质4推导过程

基本性质4推广

推导如下: 由换底公式(见下面)[  是  ,e称作自然对数的底]

换底公式的推导: 设       则

其中

得:

由基本性质4可得

再由换底公式

换底公式编辑

设b=a^m,a=c^n,则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

对①取以a为底的对数,有:log(a)(b)=m……………………………..②

对①取以c为底的对数,有:log(c)(b)=mn……………………………③

③/②,得:log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

注:log(a)(b)表示以a为底x的对数。

换底公式拓展:

以e为底数和以a为底数的公式代换:

logae=1/(lna)

推导公式编辑

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

求导数编辑

(xlogax)"=logax+1/lna

其中,logax中的a为底数,x为真数;

(logax)"=1/xlna

特殊的即a=e时有

(logex)"=(lnx)"=1/x

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